Geometrik dizinin terimleri nasıl hesaplanır?

Geometrik diziler, her bir terimin bir öncekini belirli bir çarpanla çarparak elde edildiği sayılardır. Bu yazıda, geometrik dizilerin tanımı, terim hesaplama yöntemleri ve toplamlarının nasıl bulunacağı detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Geometrik dizilerin özellikleri ve uygulama alanlarına da değinilmektedir.

Konu kakkında 1 soru soruldu ve cevaplandı

Geometrik Dizinin Tanımı

Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin belirli bir çarpanla çarpılması sonucu elde edildiği bir sayı dizisidir. Bu çarpana "ortak çarpan" veya "orantı" denir. Genel olarak, geometrik dizi aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

a, ar, ar², ar³,..., ar^n

Burada:- a: Dizinin ilk terimi- r: Ortak çarpan (orantı)- n: Terim sayısı

Geometrik Dizinin Terimlerinin Hesaplanması

Geometrik dizinin terimleri, ilk terim ve ortak çarpan kullanılarak hesaplanabilir. Geometrik dizinin n'inci terimi genel formülle ifade edilir:

Tn = a r^(n-1)

Bu formülde:- Tn: n'inci terim- a: İlk terim- r: Ortak çarpan- n: Terim sırası

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: İlk terim a = 3 ve ortak çarpan r = 2 olan bir geometrik diziyi düşünelim. Bu durumda, dizinin ilk birkaç terimi şöyle hesaplanır:

- T1 = 3 2^(1-1) = 3- T2 = 3 2^(2-1) = 6- T3 = 3 2^(3-1) = 12- T4 = 3 2^(4-1) = 24

Dizi: 3, 6, 12, 24,... şeklinde devam eder.

Geometrik Dizi Toplamı

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı, aşağıdaki formüle göre hesaplanabilir:

S_n = a (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)

Burada S_n: İlk n terimin toplamını ifade eder. Bu formül, r = 1 olmadığında geçerlidir. Eğer r = 1 ise, toplam sadece n a olur.

Örneklerle Toplam Hesaplama

Örnek 2: Yukarıdaki örneğe göre, a = 3 ve r = 2 olan dizinin ilk 4 teriminin toplamı:

S_4 = 3 (1 - 2^4) / (1 - 2) S_4 = 3 (1 - 16) / (-1) S_4 = 3 (-15) / (-1) S_4 = 45

Bu durumda, dizinin ilk 4 teriminin toplamı 45 olarak bulunur.

Geometrik Dizinin Özellikleri

Geometrik dizinin bazı önemli özellikleri şunlardır:

Dizinin her bir terimi, bir önceki terimin ortak çarpanıyla çarpılması sonucu elde edilir.
Eğer r >1 ise, dizi artan bir dizidir; r< 1 ise, dizi azalan bir dizidir.
Dizinin terim sayısı sonsuz olduğunda, toplamın varlığına bağlı olarak dizi konverjan veya diverjan olabilir.

Sonuç olarak, geometrik dizilerin terimlerini hesaplamak ve toplamlarını bulmak, matematikte önemli bir yer tutmaktadır. Bu diziler, bilim ve mühendislik alanlarında birçok uygulama alanına sahiptir. Geometrik dizilerin mantığını anlamak, daha karmaşık matematiksel konulara geçişte önemli bir adımdır.

Yeni Soru Sor / Yorum Yap