Trigonometri Yarım Açı Formülleri
Trigonometri, açıların ve bunlara bağlı olarak üçgenlerin içindeki orantıların incelenmesidir. Yarım açı formülleri, trigonometri içerisinde önemli bir yere sahiptir. Bu formüller, trigonometrik fonksiyonların yarım açılara bölünmesi durumunda kullanılmaktadır.
Yarım Açı Formülleri
Trigonometride yarım açı formülleri, açıların yarısına göre ifade edilen trigonometrik fonksiyonları içerir. Bu formüller şunlardır:
- Cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
- Cos(2a) = 2cos²(a) - 1
- Cos(2a) = 1 - 2sin²(a)
- Sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- Tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))
- Cot(2a) = (cot²(a) - 1) / (2cot(a))
Yukarıdaki formüller, trigonometrik fonksiyonların yarım açılarına göre yeniden düzenlenmiş halleridir.
Yarım Açı Formülleri ile İlgili Örnek Sorular ve Çözümleri
- Örnek: Sin(x) + Cos(x) = 2/3 ise, Sin(2x) kaç olur?
- Çözüm: Sin(x) + Cos(x) = 2/3 ifadesinin karesini aldığımız zaman
- (Sin(x) + Cos(x))² = Sin²(x) + 2Sin(x)Cos(x) + Cos²(x) = 4/9 olur.
- Bilindiği üzere, Sin²(x) + Cos²(x) = 1 olduğundan
- Sin²(x) + Cos²(x) = 1 ifadesini kullanarak çözüm yaparsak
- 1 + 2Sin(x)Cos(x) = 4/9
- 2Sin(x)Cos(x) = 4/9 - 1
- 2Sin(x)Cos(x) = -5/9
- Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x) olduğundan
- Sin(2x) = -5/9
- Örnek: Cos(4x) = y ise, Sin(8x) değeri kaç olur?
- Çözüm: Bilindiği üzere, Sin(8x) = Cos(8x) olduğundan ve Cos(2a) = 2Cos²(a) - 1 formülü kullanılarak
- Cos(8x) = 2Cos²(4x) - 1
- Cos(8x) = 2y² - 1
- Sin(8x) = 2y² - 1
- Örnek: (1 - Cos(2x)) / (1 + Cos(2x)) değeri nedir?
- Çözüm: Cos(2x) = 1 - 2Sin²(x) ve Cos(2x) = 2Cos²(x) - 1 formülleri kullanılarak
- (1 - Cos(2x)) / (1 + Cos(2x)) = (1 - (1 - 2Sin²(x))) / (1 + (2Cos²(x) - 1))
- (1 - Cos(2x)) / (1 + Cos(2x)) = (2Sin²(x)) / (2Cos²(x))
- = Tan²(x)
Ekstra Bilgiler
Yarım açı formülleri, trigonometri çalışırken sıklıkla karşımıza çıkar. Bu formüller, trigonometrik fonksiyonların simetrilerini ve dönme özelliklerini anlamak için oldukça yararlıdır. Trigonometriyi daha iyi anlamak için bu formülleri ezberlemek ve uygulamalarını yapmak büyük önem taşır. |
