Dik Koordinat Sistemi
Analitik geometri, öncelikle dik koordinat sistemini tanımlayarak başlar. Koordinat düzleminde bir noktanın yeri (x, y) şeklinde belirtilir. Dik koordinat düzlemi dört bölgeye ayrılır:
- Birinci bölgede x ve y koordinatları daima pozitif değer alır.
- İkinci bölgede y koordinatı pozitif, x koordinatı negatif değer alır.
- Üçüncü bölgede hem x hem de y koordinatları negatif değer alır.
- Dördüncü bölgede ise y koordinatı negatif, x koordinatı pozitif değer alır.
Analitik Geometri Formülleri - İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü: A(x1, y1) ve B(x2, y2) şeklinde farklı iki nokta verilmiş olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için x değerlerini ve y değerlerini birbirinden çıkarırız, çıkan değerlerin ayrı ayrı karelerini alıp toplarız ve ardından bu toplamın karekökünü alırız. Yani, uzaklık formülü aşağıdaki gibidir:
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
- Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatlarını Bulma Formülü: A(x1, y1) ve B(x2, y2) şeklinde farklı iki nokta verilmiş olsun. Orta noktanın koordinatlarını bulmak için, x ve y değerlerini kendi aralarında toplayıp ikiye böleriz. Yani, orta noktanın koordinatları aşağıdaki gibidir:
M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]
- Üçgenin Ağırlık Merkezi Formülü: A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) şeklinde noktalara sahip üçgen verilmiş olsun. Ağırlık merkezini hesaplamak için bütün noktaların x ve y değerlerini toplayıp üçe böleriz. Yani, ağırlık merkezi (G) aşağıdaki gibidir:
G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3]
- Bir Noktanın Simetrileri Formülleri: A(x, y) şeklinde bir nokta üzerinden simetrileri belirtelim:
- x eksenine göre simetri: A(x, -y)
- Y eksenine göre simetri: A(-x, y)
- Orijine göre simetri: A(-x, -y)
- Y=x doğrusuna göre simetri: A(y, x)
- Y=-x doğrusuna göre simetri: A(-y, -x)
- x=a doğrusuna göre simetri: A(2a - x, y)
- y=b doğrusuna göre simetri: A(x, 2b - y)
- Bir Doğrunun Eğim Formülü: İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y değerlerini birbirinden çıkarırız ve x değerlerini birbirinden çıkarırız, ardından bu değerleri böleriz. Yani, y değerinin x değerine oranıdır. Ax + By + C şeklinde bir doğrunun eğimi ise -A/B'dir. Eğimi m olan bir doğrunun iki noktası (x1, y1) ve (x2, y2) ise eğim formülü aşağıdaki gibidir:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
- Doğrunun Denklem Formülü: Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için, y'den verilen y noktasının değerini çıkaralım, x'den de x noktasının değerini çıkaralım ve bunları eğime eşit olacak şekilde oranlayarak bir bağıntı yazarak denklemi hesaplayabiliriz. Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi ise x/a + y/b = 1 bağıntısından faydalanarak bulunur.
- Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Formülü: Doğru denkleminde verilen nokta yerine yazılır, mutlak değeri alınır ve denklemin x ve y katsayılarının ayrı ayrı karelerini alıp birbiriyle toplayıp karekökünü aldıktan sonra mutlak değerini aldığımız sayıya böleriz, bu şekilde hesaplanır. Yani, bir noktanın (x0, y0) Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklığı aşağıdaki gibidir:
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)
- İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları: Verilen iki doğrunun katsayıları oranlanarak bazı durumlar ortaya çıkar:
- x'in katsayıları oranı, y'nin katsayıları oranı ve sabit sayıların katsayıları oranı birbirine eşit ise bu iki doğru çakışıktır.
- x katsayılarının oranı, y'nin katsayılarının oranına eşit fakat sabit sayıların oranı bu oranlardan farklı ise bu iki doğru birbirine paraleldir. Doğruların paralel olması durumunda eğimler birbirine eşittir.
- İki Doğru Arasındaki Açının Formülü: İki doğru arasında oluşan açının tanjantını hesaplayabiliriz. İkinci doğrunun eğiminden birinci doğrunun eğimini çıkarıp, birinci eğim ile ikinci eğimi çarpıp sonucuna bir ekleyip iki eğimin farkına böleriz. Böylece oluşan açının tanjantını hesaplarız. Yani, m1 ve m2 eğimlerine sahip iki doğru arasındaki açının tanjantı aşağıdaki gibidir:
tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|
- Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık Formülü: İki doğrunun denklemi verilmiş olsun. Doğrular paralel olduğundan x ve y'nin katsayıları eşit olduğundan sadece sabit sayıları farklıdır. Sabit sayıları birbirinden çıkarıp mutlak değerini alırız. Daha sonra da x'in katsayısının karesini alıp y'nin katsayısının karesini hesaplayıp toplayarak karekökünü alırız. Sabitlerin farkını bulduğumuz kareköklü ifadeye bölerek uzaklığı hesaplamış oluruz. Ax + By + C1 = 0 ve Ax + By + C2 = 0 denklemleri için, uzaklık formülü aşağıdaki gibidir:
d = |C2 - C1| / √(A² + B²)
|
Nursu
12 Temmuz 2024 CumaKoordinat sisteminde bir noktanın hangi bölgede olduğunu belirlerken nelere dikkat etmeliyiz? Örneğin, x ve y değerleri pozitif olduğunda bu nokta hangi bölgede yer alır?
Cevap yazAdmin
12 Temmuz 2024 CumaSevgili Nursu,
Koordinat sisteminde bir noktanın hangi bölgede olduğunu belirlemek için x ve y değerlerine dikkat etmeliyiz. Örneğin, eğer x ve y değerleri pozitif ise, bu nokta birinci bölgede yer alır. Koordinat sisteminde dört bölge vardır ve her bir bölge x ve y eksenlerinin işaretlerine göre belirlenir.
Selamlar,