Türev Formülleri

Türev, öncelikli olarak reel sayılarda değerli olmasına rağmen, diğer sayı kümelerindeki fonksiyonlar için de genellenmiştir. İlk olarak, reel sayılardan reel sayılara giden bir değişkene sahip olan fonksiyonlar için tanımlanmıştır. Temel anlamda türev, bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama yöntemidir.

Diğer Bir Tanım Olarak

Türev: y = f(x) fonksiyonuna göre, y'nin x'e göre ani (bir andaki) değişme oranıdır.

Türev Alma Kuralları

C sabit sayı olmak üzere; sabit sayının türevi sıfırdır. Yani c elemanıdır reel sayılar için c' = 0'dır.

Örnek: 7' = 0, 9' = 0, 87' = 0 şeklindedir.

Örnek: (2x³)' = 3·2x² şeklindedir.

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + g'(x)·f(x)
Y = (f·g·h) ise y' = f'·g·h + g'·f·h + h'·g·f
[f(x) / g(x)]' = [f'(x)·g(x) - g'(x)·f(x)] / [g(x)]²
(gof)'(x) = [g(f(x))]' = g'(f(x))·f'(x)
[f(ax + b)]' = f'(ax + b)·a

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Y = sin(g(x)) ise y' = g'(x)·cos(g(x))
Y = sin(x) ise y' = cos(x)
Y = cos(g(x)) ise y' = -g'(x)·sin(g(x))
Y = cos(x) ise y' = -sin(x)
Y = tan(g(x)) ise y' = g'(x)·(1 + tan²(g(x)))
Y = tan(x) ise y' = 1 + tan²(x) = sec²(x)
Y = cot(g(x)) ise y' = -g'(x)·(1 + cot²(g(x)))
Y = cot(x) ise y' = - (1 + cot²(x)) = -cosec²(x)
Y = sec(g(x)) ise y' = g'(x)·sec(g(x))·tan(g(x))
Y = cosec(g(x)) ise y' = -g'(x)·cosec(g(x))·cot(g(x))

Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

f(x) = |g(x)| ise f'(x) = { g'(x) eğer g(x) > 0
f'(x) = { -g'(x) eğer g(x) < 0
g(x) = 0 denklemini sağlayan x değerleri için sağdan ve soldan türevine bakılır.

Ekstra Bilgiler

Türev, birçok bilim dalında, özellikle fizik ve mühendislikte, anlık değişim oranlarını hesaplamak için kullanılır. Örneğin, hız bir pozisyon fonksiyonunun türevi iken, ivme bir hız fonksiyonunun türevidir. Bu nedenle, türev kavramı hem teorik hem de pratik uygulamalarda geniş bir kullanıma sahiptir.

Fonksiyonların türevleri, yalnızca eğim hesaplamaları için değil, aynı zamanda maksimum ve minimum değerleri bulmak, fonksiyonların eğimlerinin nasıl değiştiğini analiz etmek ve diferansiyel denklemlerin çözümünde de kullanılır. Bu nedenle, türevler matematiksel analizde ve onun çeşitli uygulamalarında temel bir rol oynar.