Terim toplamı formülüyle diziler nasıl hesaplanır?

Diziler, matematikte belirli bir kurala göre sıralanmış sayı veya terimlerden oluşan bir yapıdır. Bu terimlerin toplamını hesaplamak için kullanılan formüller, dizinin türüne bağlı olarak değişiklik gösterir. Bu makalede, terim toplamı formülü ile dizilerin hesaplanma yöntemlerini inceleyeceğiz.

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış elemanlar veya terimler bütünüdür. Matematiksel diziler genellikle iki ana gruba ayrılır:

• Aritmetik Diziler
• Geometrik Diziler

Aritmetik diziler, ardışık terimler arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu dizinin genel terimi şu şekilde ifade edilebilir:\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]Burada,- \( a_n \): n'inci terim,- \( a_1 \): ilk terim,- \( d \): terimler arasındaki sabit fark,- \( n \): terim sayısıdır.Aritmetik dizinin terimlerinin toplamı ise aşağıdaki formül ile hesaplanır:\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]Burada,- \( S_n \): n terimlik toplam,- \( a_n \): n'inci terimdir.

Geometrik diziler, ardışık terimler arasındaki oranın sabit olduğu dizilerdir. Bu dizinin genel terimi şu şekilde ifade edilebilir:\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]Burada,- \( r \): terimler arasındaki sabit oran,- Diğer semboller yukarıda tanımlanmıştır. Geometrik dizinin terimlerinin toplamı ise aşağıdaki formül ile hesaplanır:\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) \]Burada,- \( S_n \): n terimlik toplamdır.

Bir aritmetik dizide, ilk terim \( a_1 = 3 \) ve fark \( d = 2 \) olarak verilmişse, dizinin ilk beş terimi:- \( a_1 = 3 \)- \( a_2 = 5 \)- \( a_3 = 7 \)- \( a_4 = 9 \)- \( a_5 = 11 \) Bu terimlerin toplamı:\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (3 + 11) = \frac{5}{2} \cdot 14 = 35 \]Bir geometrik dizide, ilk terim \( a_1 = 2 \) ve oran \( r = 3 \) olarak verilmişse, dizinin ilk beş terimi:- \( a_1 = 2 \)- \( a_2 = 6 \)- \( a_3 = 18 \)- \( a_4 = 54 \)- \( a_5 = 162 \) Bu terimlerin toplamı:\[ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 \]